concrete rules and abstract machines

“ Il y a toujours eu dans l’histoire des mathématiques, il y a eu toujours un courant géométriste, contre les courants arithmétistes, contre les courants algébristes… Bien plus, toute l’histoire des mathématiques, c’est comme la philosophie les mathématiques, c’est très très compliqué cette histoire… Il y a comme à l’origine des mathématiques, si loin qu’on puisse remonter, si on fait, quand on fait l’histoire des mathématiques, on voit très bien deux courants. On voit un courant qu’on appelle en gros le courant grec, et le courant grec ça a toujours été, si loin qu’ils aillent pourtant dans le développement de l’étude du nombre et vous allez voir pourquoi ils vont très loin… Si loin que les Grecs soient allés dans les développements du nombre, leur conception des mathématiques est fondamentalement géométriste, à savoir : le nombre est subordonné. Le nombre est subordonné à la grandeur, et la grandeur est géométrique. Et toutes les mathématiques grecques sont fondées là-dessus. Loin d’étouffer le nombre, c’est très important, ça oriente le nombre vers quoi ? La subordination du nombre à la grandeur géométrique, c’est quoi ? Ça ouvre aux mathématiques une espèce d’horizon fantastique, qui est quoi ? Que les nombres, ça ne vaut pas en soi, ça vaut par rapport à tel ou tel domaine de grandeur. Finalement, les domaines de grandeur ont besoin, ils s’expriment par des systèmes de nombres, mais il n’y a pas d’indépendance du système de nombre. Ce n’est pas le nombre qui détermine la grandeur, c’est la grandeur qui détermine le nombre, en d’autres termes les nombres sont toujours des nombres locaux. Les nombres, les systèmes de nombres sont toujours affectés à tel ou tel type de grandeur. Primat de la grandeur sur le nombre. Si vous voulez comprendre quelque chose, par exemple, dans les problèmes de l’infini dans les mathématiques, il faut partir de choses très très simples comme ça. Le primat de la grandeur sur le nombre, dès lors le caractère local du nombre -j’appelle caractère local la dépendance du nombre par rapport à tel domaine de grandeur- est fondamental. Et en effet, réfléchissez à ce qu’on peut dire par exemple sur les nombres à cet égard -j’essaie de gonfler un peu cette thèse. ”