concrete rules and abstract machines

“ L’infini actuel existe, et je crois que on peut, on peut vraiment, oui… j’ai l’air de révéler comme un secret mais ça me semble, oui, c’est une espèce de secret parce que il me semble que c’est la proposition de base, le sous-entendu de base de toute la philosophie au 17eme siècle : il y a de l’infini actuel. Qu’est-ce que ça veut dire, cette proposition en apparence étrange, l’infini actuel ? Il y a de l’infini en acte. Et bien, ça s’oppose à deux choses : l’infini en acte, c’est ce qu’il faut à la fois distinguer du fini, et de l’indéfini. L’indéfini, ça veut dire qu’il y a de l’infini, mais seulement en puissance. On ne peut pas s’arrêter, il n’y a pas de dernier terme. Il n’y a pas de dernier terme, c’est l’indéfini. Le finitisme, c’est quoi ? Il y a un dernier terme. Il y a un dernier terme, et vous pouvez arriver à ce dernier terme, ne serait-ce que par la pensée. Or ça, c’est deux thèses à peu près intelligibles, en tout cas on y est habitué. Les thèses finitistes et les thèses indéfinitistes. Pour nous, est aussi simple une proposition que l’autre : il y a un dernier terme, ou bien il n’y a pas de fin. Dans un cas vous direz : il y a un dernier terme, c’est quoi ? c’est la position d’une analyse finie, c’est le point de vue de l’analyse finie ; il n’y a pas de dernier terme : vous pouvez aller à l’indéfini, vous pourrez toujours diviser le dernier terme auquel vous êtes arrivé, c’est donc la position d’un infini en puissance, uniquement en puissance, on peut toujours aller plus loin. Cette fois-ci, c’est la position d’une synthèse infinie. La synthèse infinie, ça veut dire : le pouvoir de l’indéfini, pousser toujours plus loin l’analyse. Or le 17eme siècle, bizarrement, ne se reconnaît ni dans un point ni dans l’autre. Je dirais que les thèses de la finitude, c’est quoi ? Elles sont bien connues, de tout temps ça a été ce qu’on a appelé les atomes. Vous pouvez aller jusqu’au dernier terme de l’analyse. C’est l’analyse finie. Le grand théoricien de l’atome, dans l’antiquité, c’est Epicure, puis c’est Lucrèce. Or le raisonnement de Lucrèce est très strict. Lucrèce dit : l’atome dépasse la perception sensible, il ne peut être que pensé. Bon. Il ne peut être que pensé. Mais il marque comme… -pas exactement de lui-même, mais de même… il y a un raisonnement de Lucrèce très curieux, qui consiste à nous dire : il y a un minimum sensible. Le minimum sensible, c’est celui -vous pouvez faire l’expérience facilement, vous prenez un point lumineux, vous le fixez, et ce point lumineux est reculé, jusqu’au point où il disparaît à votre vue. Peut importe que vous ayez la vue bonne ou pas bonne, il y aura toujours un point où, il y aura toujours un moment où le point lumineux disparaît, n’est plus vu. Très bien, appelons ça le minimum sensible. C’est le minimum perceptible, le minimum sensible, il a beau varier pour chacun, pour chacun il y a un minimum sensible. Et bien de même, dit-il, de penser l’atome -puisque l’atome est à la pensée ce que la chose sensible est aux sens-, si vous pensez l’atome, vous arriverez à un minimum d’atome. Le minimum d’atome, c’est le seuil au delà duquel vous ne pensez plus rien. Tout comme il y a un seuil sensible au delà duquel vous ne saisissez plus rien, il y a un minimum pensé au delà duquel vous ne pensez plus rien. Il y a donc un minimum pensable, autant qu’un minimum sensible. A ce moment là, l’analyse a fini. Et c’est ça que Lucrèce appelle d’une expression très très bizarre, non pas l’atome simplement mais « le sommet de l’atome ». le sommet de l’atome, c’est ce minimum au delà duquel il n’y a plus rien. C’est le principe d’une analyse finie. L’analyse indéfinie, on sait aussi ce que sait. L’analyse indéfinie, c’est quoi ? évidemment, c’est beaucoup plus compliqué que… Sa formulation, elle est très simple : aussi loin que vous alliez, vous pouvez toujours aller plus loin. C’est à dire -je dis c’est un point de vue de la synthèse puisqu’on se réclame d’une synthèse par laquelle je peux toujours continuer ma division, continuer mon analyse…C’est la synthèse de l’indéfini. ”

“ Il y a toujours eu dans l’histoire des mathématiques, il y a eu toujours un courant géométriste, contre les courants arithmétistes, contre les courants algébristes… Bien plus, toute l’histoire des mathématiques, c’est comme la philosophie les mathématiques, c’est très très compliqué cette histoire… Il y a comme à l’origine des mathématiques, si loin qu’on puisse remonter, si on fait, quand on fait l’histoire des mathématiques, on voit très bien deux courants. On voit un courant qu’on appelle en gros le courant grec, et le courant grec ça a toujours été, si loin qu’ils aillent pourtant dans le développement de l’étude du nombre et vous allez voir pourquoi ils vont très loin… Si loin que les Grecs soient allés dans les développements du nombre, leur conception des mathématiques est fondamentalement géométriste, à savoir : le nombre est subordonné. Le nombre est subordonné à la grandeur, et la grandeur est géométrique. Et toutes les mathématiques grecques sont fondées là-dessus. Loin d’étouffer le nombre, c’est très important, ça oriente le nombre vers quoi ? La subordination du nombre à la grandeur géométrique, c’est quoi ? Ça ouvre aux mathématiques une espèce d’horizon fantastique, qui est quoi ? Que les nombres, ça ne vaut pas en soi, ça vaut par rapport à tel ou tel domaine de grandeur. Finalement, les domaines de grandeur ont besoin, ils s’expriment par des systèmes de nombres, mais il n’y a pas d’indépendance du système de nombre. Ce n’est pas le nombre qui détermine la grandeur, c’est la grandeur qui détermine le nombre, en d’autres termes les nombres sont toujours des nombres locaux. Les nombres, les systèmes de nombres sont toujours affectés à tel ou tel type de grandeur. Primat de la grandeur sur le nombre. Si vous voulez comprendre quelque chose, par exemple, dans les problèmes de l’infini dans les mathématiques, il faut partir de choses très très simples comme ça. Le primat de la grandeur sur le nombre, dès lors le caractère local du nombre -j’appelle caractère local la dépendance du nombre par rapport à tel domaine de grandeur- est fondamental. Et en effet, réfléchissez à ce qu’on peut dire par exemple sur les nombres à cet égard -j’essaie de gonfler un peu cette thèse. ”

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Bah, je suis extrêmement admiratif, surtout pour l’oeuvre de Gueroult, qui me paraît une très grande chose. Mais voilà que, quant à ce point précis de ce qu’il dit sur l’individu chez Spinoza, il n’y a aucune proposition de son commentaire, pourtant très, très précis, qui me semble fausse. Et alors quelque chose me trouble énormément, parce que le Savoir, l’érudition de Gueroult est une chose énorme, sa rigueur de commentaire me paraît immense, tout ça… et à la limite je comprends pas pourquoi j’ai cette impression que… qu’il manque. Ca va pas du tout ! Je vous ai dit tout ça pour que… quand… ce que j’appelle une séance technique, c’est vraiment dans les choses au niveau presque des lois physiques, invoquées par Gueroult, invoquées, peut-être, par Spinoza lui-même, ou celles que, moi, j’invoquerai, les modèles mathématiques et physique, que on invoque si bien que, si je me permets de dire tout le temps pour plus de rapidité que Gueroult se trompe, vous corrigez vous-même. Ca veut dire que je ne m’y reconnais pas, je me faisais une autre idée, une tout autre idée. Tout ça… pour ceux qui seraient vraiment spinozistes, vous irez voir chez Gueroult. Y’a aucune raison de me croire sur parole. Vous irez dans les livres de Gueroult, et puis ce sera à vous de choisir, ou bien de trouver encore d’autres solutions. Donc… ça, c’était un avertissement de précaution sur ce que je vais euh…. I ll y a un point sur lequel Gueroult a évidemment raison, je veux dire pour vous donner un avant goût du genre de technique que je souhaite. La plupart des commentateurs ont toujours dit - la grande majorité, presque tous à ma connaissance - on dit que il n’y avait pas tellement de problème de la physique spinoziste, que c’était une physique tout à fait cartésienne. Tout le monde reconnaît que Leibniz a complètement mis en cause les principes de physique cartésienne, mais on accorde que Spinoza, il serait resté cartésien. Or c’est effarant ! Là alors Gueroult a absolument raison. Gueroult est quand même le premier - ça, ça veut dire quelque chose quant à l’ état des études en histoire de la philosophie, quand on ne fait pas très attention - Gueroult est le premier à signaler un petit point très précis.

A savoir, il est bien connu que Descartes insiste énormément sur l’idée que quelque chose se conserve dans la nature. Et notamment quelque chose concernant “le mouvement”. Donc considérant les problèmes de communication du mouvement dans le choc des corps - lorsque les corps se rencontrent - Descartes insiste - et ça va la base, ou une des bases de sa physique - sur ceci : quelque chose se conserve dans la communication du mouvement. Et qu’est-ce que c’est qui se conserve dans la communication du mouvement ? Descartes nous dit : c’est “m/v” ! C’est-à-dire : ce qu’il appelle ; ” quantité de mouvement”, et la quantité de mouvement, c’est le produit de la masse par la vitesse - mv, petit m, petit v. Spinoza, dans sa théorie des corps, au Livre II de “l’Ethique”, nous dit : “ce qui se conserve, c’est un certain rapport de mouvement et de repos, de vitesse et de lenteur.” (L. II, Prop. XIII, Ax.I, II, Lem. I). Un lecteur rapide se dira : “C’est une autre manière d’exprimer la quantité de mouvement “mv”. En effet, “m”, la masse, pour Descartes même, implique une force de repos, “v” implique une force de mouvement. Donc il semble que le passage se fasse tout naturellement de l’idée “que se conserve la quantité de mouvement dans le choc des corps” et qu’on passe tout naturellement à l’idée que : “se conserve le rapport du mouvement et du repos”. Je veux dire, la force de Gueroult … c’est quand même le premier à dire : mais enfin quoi : est-ce qu’on lit les textes ou pas ? Parce que c’est évident que c’est pas du tout la même chose. En quoi c’est pas du tout la même chose ?

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“ Now, me, my answer to the question: but what is it exactly, this that Spinoza speaks to us of when he speaks of the relations of movement and rest, of proportions of movement and rest, and says: the infinitely small, a collection of the infinitely small belonging to such an individual under such a relation of movement and rest, what is this relation? I would not be able to say like Gueroult that it is a vibration which assimilates the individual to a pendulum: it is a differential relation. It is a differential relation such that it is manifested in the infinite sets, in the infinite sets of the infinitely small. And, in effect, if you take Spinoza‚s letter on blood, of which I have made great use, and the two components of blood, chyle and lymph, this now tells us what? It tells us that there are corpuscles of chyle, or better chyle is an infinite set of very simple bodies. Lymph is another infinite set of the very simple bodies. What distinguishes the two infinite sets? It is the differential relation! You have this time a dy/dx which is: the infinitely small parts of chyle over the infinitely small parts of lymph, and this differential relation tends towards a limit: the blood, that is to say: chyle and lymph compose blood.
If this is right, we could say why infinite ensembles are distinguished. It is because the infinite sets of very simple bodies don’t exist independently of the differential relations which they put into effect. Therefore it is by abstraction that I began by speaking of them. But they necessarily exist, they exist necessarily under such and such a variable relation, they cannot exist independently of a relation, since the notion even of the term infinitely small, or of vanishing quantity, cannot be defined independently of a differential relation. Once again, Œdx‚ has no sense in relation to Œx‚, Œdy‚ has no sense in relation to Œy‚, only the relation dx/dy has a sense. That’s to say that the infinitely small don’t exist independently of the differential relation. Good. Now, what permits me to distinguish one infinite set from another infinite set? I would say that the infinite sets have different powers [puissances], and that which appears quite obviously in this thought of the actual infinite is the idea of the power [puissance] of an set. Let’s understand here that I don’t at all mean, it would be abominable to make me mean that they have anticipated things which closely concern set theory in the mathematics of the beginning of the 20th century, I don’t mean that at all. I mean that in their conception, which is in absolute contrast with modern mathematics, which is completely different, which has nothing to do with modern mathematics, in their conception of the infinitely small and of the differential calculus interpreted from the perspective of the infinitely small, they necessarily brought out - and this is not peculiar to Leibniz, it is also true of Spinoza, and of Malebranche, all these philosophers of the second half of the 17th century ˜ brought out the idea of infinite sets which are distinguished, not by their numbers, an infinite set by definition, it can not be distinguished from another infinite set by the number of its parts, since all infinite sets excede all assignable number of parts - therefore, from the point of view of the number of parts, there cannot be one which has a greater number of parts than another. All these sets are infinite. Therefore under what aspect are they distinguished? Why is it that I can say: this infinite set and not that one? ”